L’irragionevole efficacia della matematica nell’alpinismo

Che cos’hanno in comune il profilo di una conchiglia fossile e un friend?

Precisiamo che la parola inglese, ormai entrata nell’uso, si indicano moderni dispositivi a camme da inserire nelle fessure della roccia per proteggere il primo di cordata. Presentano il vantaggio della rapidità del loro utilizzo e del loro recupero, tranne nei malaugurati casi in cui l’estrazione si rivela impossibile a dispetto dei disperati sforzi del secondo. Per tornare alla domanda con cui l’autore si sforza di attirare l’attenzione del lettore, mostriamo subito le carte, informando gli alpinisti che decorano i loro imbraghi di friend di varia misura, che il loro profilo è lo stesso della conchiglia del nautilus.

Per comprendere su che cosa sia basata questa insospettata somiglianza, schematizziamo, come sono soliti fare i fisici, una fessura verticale, adatta per l’assicurazione, come limitata da due pareti parallele e ruvide. Nella fessura possiamo pensare di inserire  una sbarra rigida di opportuna lunghezza, come in Fig. 2.

Niente ci impedisce di pensare di fissare ad un occhiello che si trova nell’ estremità superiore della sbarra un cordino o, meglio, un cappio al quale affidare lo strappo in caso di volo. È chiaro che la tenuta di questo (ingenuo) ancoraggio dipende dall’attrito fra la sbarra e la parete di roccia e dalla sua posizione. Infatti, si intuisce che la configurazione (a) di Figura 3 offre possibilità di tenuta allo strappo molto maggiori della (b).

In altri termini, la sbarretta non deve essere troppo lunga nei confronti della larghezza della fessura. La sicurezza è tanto maggiore quanto più la lunghezza della sbarra è prossima alla larghezza della fessura, restandone, tuttavia, maggiore, posto che la roccia presenti un sufficiente attrito.

Ci si rende intuitivamente conto che, fissata che sia la larghezza della fessura e l’attrito con le pareti, vi è una lunghezza massima della sbarretta compatibile con la tenuta allo strappo. Per dirla in altro modo, sotto le dette condizioni, vi è un angolo minimo tra la sbarra e la parete compatibile con la tenuta del sistema. Affinché tale condizione sia soddisfatta, l’alpinista dovrà essere dotato di una collezione di sbarre di diversa lunghezza, tra le quali scegliere quella da incastrare, sufficientemente corta rispetto alla larghezza della fessura. La condizione per la tenuta allo strappo è che l’angolo di contatto con la parete non sia inferiore a quello di soglia, posto che l’attrito sia sempre lo stesso.

Si tratta di un modello di «stopper» non puramente accademico, in quanto alla base di alcuni strumenti di assicurazione effettivamente messi di recente in commercio da alcune case produttrici di materiale alpinistico. Il più semplice consiste di due sbarrette metalliche incernierate ad una estremità, che formano una «V» orizzontale, tenuta chiusa da una molla.
Anche in questo caso, la tenuta del sistema non dipende dall’intensità della strappo e presuppone un valore di soglia  per le lunghezze dei bracci nei confronti della larghezza della fessura.

Nel caso in cui si voglia utilizzare una sola sbarretta, la condizione per la tenuta, cioè che l’angolo di contatto sia superiore a quello di soglia, richiede che l’alpinista disponga di una collezione di sbarre di diversa lunghezza, tra le quali scegliere quella adatta alla larghezza della fessura. L’alternativa è quella di realizzare una camma che abbia le proprietà di una raccolta di sbarre di crescente lunghezza, come in Fig. 5.

La condizione a cui deve  soddisfare la camma è che, una volta inserita, la lunghezza del raggio di contatto sia sufficientemente inferiore alla larghezza della fessura, che è come dire che l’angolo tra raggio e parete (che è la tangente) sia sufficientemente grande, ovvero maggiore del valore di soglia (Fig. 6).

Pertanto, fissato l’angolo di contatto, ovvero della tangente rispetto al raggio di contato, si tratta di capire quale profilo conferire alla camma affinché quest’angolo sia costante.  All’uopo (come si diceva una volta ) su un foglio si fissi un punto ad indicare il centro di rotazione, quello indicato con un cerchietto, e si disegni un primo raggio e una retta che passi per l’altra estremità (quella del contatto) e che formi col raggio un angolo stabilito, quello determinato in modo che sia maggiore di quello minimo.  Si potrebbe costruire la curva in questo modo, per passi successivi; ma, per fortuna, non è necessario, perché vi è una sola curva che gode (verbo usato nei manuali di geometria) di questa proprietà: che la tangente alla curva forma un angolo costante con il raggio (Fig. 7).

Ora, è un mistero perché la natura abbia una predilezione per la spirale logaritmica. Per esempio, la conchiglia di un comune mollusco,  il Nautilus, ha appunto il profilo di una spirale logaritmica; il falco pellegrino, per raggiungere la sua preda, segue un percorso che ha esattamente questa forma. E non sono che due fra i tanti casi che si potrebbero ricordare. Ma noi siamo interessati al fatto che la possibilità di utilizzare il friend su fessure di larghezza diversa impone che il suo profilo sia, come quello della conchiglia, una spirale logaritmica (Fig. 8).

 

Una variante dell’ingenuo marchingegno ora descritto è la configurazione “a compasso”, schematicamente rappresentata in Fig. 9.

Si tratta di due aste di uguale lunghezza, incernierate ad una estremità, per le quali vale la stessa condizione dell’esistenza di un angolo di contatto limite, ovvero che il compasso sia sufficientemente aperto.  La traduzione tecnica di questo principio è una coppia di camme che fanno l’ufficio di una collezione di compassi di diversa lunghezza da poter utilizzare indipendentemente dalla larghezza della fessura, cioè il friend nella sua edizione più diffusa (Fig. 10).

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(*) Sul numero di febbraio 1960 di “Communications in Pure and Applied Mathematics” Eugene Wigner, che due anni dopo venne insignito del premio Nobel per la fisica, pubblicò un articolo che rivelava la genialità già nel titolo: «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences», che fu al centro di innumerevoli riflessioni e discussioni nei decenni successivi. Tanto valga a motivare il titolo scelto dall’autore.